Question

△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若B=60°，a=（-1）c．
（1）求角A的大��；
（2）已知當(dāng)x∈[，]時(shí)，函數(shù)f（x）=cos2x+asinx的最大值為3，求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）因?yàn)锽=60°，所以A+C=120°，C=120°-A
∵a=（-1）c，由正弦定理可得：sinA=（-1）sinC
sinA=（-1）sin（120°-A）=（-1）（sin120°cosA-cos120°sinA）
=（-1）（cosA+sinA）
整理得，tanA=1
∴A=45°．
（2）f（x）=1-2sin²x+asinx，令t=sinx，
∵x∈[，]，
∴t∈[，1]
f（x）=g（t）=-2t²+at+1=-2（t-）²++1，t∈[，1]
若＜，即a＜2
f_max=g（）=a+=3，，故a=5（舍去）
若≤≤1即2≤a≤4，
f_max=g（）=+1=3，得a=3
若＞1，即a＞4，
f_max=g（）=1-2+a=a-1=3，得a=4（舍去）
故a=4，S_△ABC=6+2．
分析：（1）用題目中所給的條件建立方程，通過消元得到關(guān)于角A的等式，利用它求角A的砰然函數(shù)值來，進(jìn)而求出角．
（2）題目中知道了最大值為3，利用f_max=3建立相關(guān)的方程，此處要用二次函數(shù)在某一個(gè)確定區(qū)間上的最值問題的相關(guān)知識(shí)來最值為3的條件轉(zhuǎn)化為參數(shù)a的方程來求值，進(jìn)而再由面積公式求出三角形的面積，
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理，角的變換，三角轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)得到關(guān)于最值3的方程，求參數(shù)求最值，方法靈活，技巧性很強(qiáng)，是一道能訓(xùn)練答題都靈活答題能力的好題