Question

已知下列命題，寫出所有正確的命題的題號(hào)：

 

．：
①函數(shù)y=tanx在第一象限是增函數(shù)；
②函數(shù)y=cos²（

π

4

-x）是偶函數(shù)；  
③函數(shù)y=4sin（2x-

π

3

）的一個(gè)對(duì)稱中心是（

π

6

，0）；
④函數(shù)y=sin（x+

π

4

）在閉區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡(jiǎn)易邏輯

分析：直接舉反例說明命題①④錯(cuò)誤；化簡(jiǎn)函數(shù)y=cos²（

π

4

-x），然后代值驗(yàn)證說明②錯(cuò)誤；由x=

π

6

時(shí)y=4sin（2x-

π

3

）=0說明命題③正確．

解答： 解：對(duì)于①，取x1=

π

3

，x2=

9π

4

，

π

3

＜

9π

4

，但tan

π

3

＞tan

9π

4

．
∴函數(shù)y=tanx在第一象限不是增函數(shù)．
命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，∵函數(shù)y=cos²（

π

4

-x）=

1+cos( π 2 -2x)

2

=

1

2

(sin2x+1)．
當(dāng)x=

π

4

時(shí)，y=1．當(dāng)x=-

π

4

時(shí)，y=0．
∴函數(shù)y=cos²（

π

4

-x）是非奇非偶函數(shù)．
命題②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)x=

π

6

時(shí)，y=4sin（2x-

π

3

）=0．
∴函數(shù)y=4sin（2x-

π

3

）的一個(gè)對(duì)稱中心是（

π

6

，0）．
命題③正確；
對(duì)于④，x=

π

4

時(shí)，y=1．x=

π

2

時(shí)，y=

2

2

．
∴函數(shù)y=sin（x+

π

4

）在閉區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)錯(cuò)誤．
故正確命題的題號(hào)是③．
故答案為：③

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬中檔題．