Question

已知f（x）=x²-2ax+2．
（1）求f（x）在區(qū)間[2，+∞）上的最小值；
（2）若不等式f（x）＞0在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）解關于x的不等式f（x）≤0．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數恒成立問題

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出對稱軸，討論當a≥2時，當a＜2時，函數的單調性，進而得到最小值；
（2）不等式f（x）＞0在區(qū)間[2，+∞）恒成立，則f（x）_min＞0，由（1），即可得到范圍；
（3）討論判別式大于0，等于0，小于0，運用求根公式，討論兩根的大小，即可得到解集．

解答： 解：（1）由于f（x）的對稱軸為x=a，當a≥2時，f（x）在[2，a]遞減，
在（a，+∞）遞增，則f（x）_min=f（a）=2-a²；
當a＜2時，f（x）在[2，+∞）遞增，則f（x）_min=f（2）=6-4a．
故f（x）_min=

2-a2，a≥2 6-4a，a＜2

；
（2）不等式f（x）＞0在區(qū)間[2，+∞）恒成立，則f（x）_min＞0，
由（1）得，0＜2-a²，解得-

2

＜a＜

2

；
（3）∵△=4a²-8，
∴①當△＜0，即-

2

＜a＜

2

時，原不等式對應的方程無實根，
原不等式的解集為ϕ．
②當△=0，即a=±

2

時，原不等式對應的方程有兩個相等實根．
當a=

2

時，原不等式的解集為{x|x=

2

}，
當a=-

2

時，原不等式的解集為{x|x=-

2

}；
③當△＞0，即a＞

2

或a＜-

2

時，
原不等式對應的方程有兩個不等實根，
分別為x₁=a-

a2-2

，x₂=a+

a2-2

，且x₁＜x₂，
∴原不等式的解集為{x|a-

a2-2

≤x≤a+

a2-2

}，
綜上所述，當-

2

＜a＜

2

時，不等式的解集為ϕ；
當a=

2

時，不等式的解集為{x|x=

2

}}；
當a=-

2

時，不等式的解集為{x|x=-

2

}；
當a＞

2

或a＜-

2

時，不等式的解集為{x|a-

a2-2

≤x≤a+

a2-2

}．

點評：本題考查二次函數在閉區(qū)間上的最值，注意對稱軸和區(qū)間的關系，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．