Question

設(shè)函數(shù)是定義在［-1,0）∪（0,1］上的偶函數(shù),當(dāng)x∈［-1,0）時, =x³-ax(a∈R).

(1)當(dāng)x∈（0,1］時,求的解析式;

(2)若a＞3,試判斷在（0,1］上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;

(3)是否存在a,使得當(dāng)x∈（0,1］時,有最大值1.

Answer 1

分析：此題綜合性較強(qiáng),應(yīng)注意知識間的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化.

解：(1)∵x∈(0,1］時,-x∈［-1,0）,

∴=(-x)³-a(-x)=ax-x³.

又為偶函數(shù),∴=,即=ax-x^3.

(2)=-3x²+a,∵x∈（0,1］,∴x²∈（0,1］.

∴-3x²≥-3.

∵a＞3,∴-3x²+a＞0,故在（0,1］上為增函數(shù).

(3)假設(shè)存在a,使得當(dāng)x∈（0,1］時,有最大值1.

∴=a-3x^2.

令=0,∴-3x²+a=0,即a＞0時,x=±.?

又∵x∈（0,1］,∴x=且＜1.

∴在(0,)上大于0,在(,1)上小于0.

∴=f()=-==1.

∴a=時, 有最大值1.

點評：關(guān)于存在性問題,處理的方法可以先假設(shè)存在,再尋找所得的結(jié)論.