設函數是定義在[-1,0)∪(0,1]上的奇函數,當x∈[-1,0)時,(a∈R).
(1)當x∈(0,1]時,求的解析式;
(2)若a>-1,試判斷在(0,1)上的單調性,并證明你的結論;
(3)是否存在a,使得當x∈(0,1)時,f(x)有最大值-6.
(1)f(x)=2ax-,x∈(0,1];(2)見解析;
(3)存在a=-2,使f(x)在(0,1)上有最大值-6.
【解析】(1)對于奇函數求對稱區(qū)間上的解析式,根據奇函數的圖像關于原點對稱的特征,只須用-x,-y,分別代替原對稱區(qū)間中的x,y,然后兩邊同乘以-1,即可得到所求區(qū)間上的解析式
(2)通過證明當a>-1時,判斷在上的值的情況,進而確定f(x)在(0,1]上是否具有單調性
(3)本題本質是求函數f(x)在x∈(0,1)上的最大值因而,要對a進行討論求最大值,然后利用最大值為-6,求出a值,再驗證是否滿意a的條件,進而判斷出a值是否存在
(1)設x∈(0,1],則-x∈[-1,0),f(-x)=-2ax+,
∵f(x)是奇函數.∴f(x)=2ax-,x∈(0,1].
(2)證明:∵f′(x)=2a+,
∵a>-1,x∈(0,1],>1,∴a+>0.即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1]上是單調遞增函數.
(3)解:當a>-1時,f(x)在(0,1]上單調遞增.
f(x)max=f(1)=-6,a=-(不合題意,舍之),
當a≤-1時,f′(x)=0,x=.
如下表:fmax(x)=f()=-6,解出a=-2. x=∈(0,1).
(-∞,) |
(,+∞) |
||
+ |
0 |
- |
|
|
最大值 |
∴存在a=-2,使f(x)在(0,1)上有最大值-6.
科目:高中數學 來源:2010-2011學年江蘇省高三上學期期中考試數學試卷 題型:解答題
(本小題滿分15分)
設函數是定義在上的奇函數,當時,(a為實數).
(1)當時,求的解析式;
(2)當時,試判斷在上的單調性,并證明你的結論.
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