(理)已知函數f(x)= -lnx,x∈[1,3].
(Ⅰ)求f(x)的最大值與最小值;
(Ⅱ)若f(x)<4-At對于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求實數A的取值范圍.
(Ⅰ)求f(x)的最大值為最小值為;(Ⅱ)A<.
解析試題分析:(1)直接求出函數的導數,通過導數為0,求出函數的極值點,判斷函數的單調性,利用最值定理求出f(x)的最大值與最小值;
(2)利用(1)的結論,f(x)<4-At于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,轉化為4-At>對任意t∈[0,2]恒成立,通過 求實數A的取值范圍.
試題解析:(1)因為函數f(x)=﹣lnx,
所以f′(x)=,令f′(x)=0得x=±2,
因為x∈[1,3],
當1<x<2時 f′(x)<0;當2<x<3時,f′(x)>0;
∴f(x)在(1,2)上單調減函數,在(2,3)上單調增函數,
∴f(x)在x=2處取得極小值f(2)=﹣ln2;
又f(1)=,f(3)=,
∵ln3>1∴
∴f(1)>f(3),
∴x=1時 f(x)的最大值為,
x=2時函數取得最小值為﹣ln2.
(2)由(1)知當x∈[1,3]時,f(x),
故對任意x∈[1,3],f(x)<4﹣At恒成立,
只要4﹣At>對任意t∈[0,2]恒成立,即At恒成立
記 g(t)=At,t∈[0,2]
∴,解得A,
∴實數A的取值范圍是(﹣∞,).
考點:1、利用導數求閉區(qū)間上函數的最值;2、利用導數研究函數的單調性.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
設函數f(x)=+ax-lnx(a∈R).
(Ⅰ)當a=1時,求函數f(x)的極值;
(Ⅱ)當a≥2時,討論函數f(x)的單調性;
(Ⅲ)若對任意及任意,∈[1,2],恒有成立,求實數m的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,某自來水公司要在公路兩側排水管,公路為東西方向,在路北側沿直線排,在路南側沿直線排,現(xiàn)要在矩形區(qū)域內沿直線將與接通.已知,,公路兩側排管費用為每米1萬元,穿過公路的部分的排管費用為每米2萬元,設與所成的小于的角為.
(Ⅰ)求矩形區(qū)域內的排管費用關于的函數關系式;
(Ⅱ)求排管的最小費用及相應的角.
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