Question

（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．

⑴證明PA//平面EDB；

⑵證明PB⊥平面EFD；

⑶求二面角C—PB—D的大小．

Answer 1

（Ⅲ）

解析:

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點，

設(shè)．

（Ⅰ）連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG．依題意得

．�。�2分）

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點G的坐標(biāo)為，

且．∴，這表明PA//EG．

而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB．   （4分）

（Ⅱ）依題意得，．

又，

故．∴．

（6分）由已知，且，

所以平面EFD． （8分）

（Ⅲ）設(shè)點F的坐標(biāo)為，，則，

從而，所以

．（9分）

由條件知，，即，

解得，∴點F的坐標(biāo)為，且，

．∴，即，

故是二面角C—PB—D的平面角． （10 分）

∵，，，

∴，得．

所以二面角C—PB—D的大小為．        　 （12分）

評析 （1）用向量法證明線面平行的另兩種常見方法是:①利用共面向量定理,證明存在實數(shù),使得；②證明向量

與平面的一個法向量垂直．

(2)計算二面角大小，既可以根據(jù)二面角的定義，

通過作出二面角的平面角，再解三角形求角，

也可以運(yùn)用向量方法，轉(zhuǎn)化為計算兩個平面的

法向量的夾角．做題時要考慮前后聯(lián)系，注意

選擇簡便的方法．