Question

（本小題滿分22分）

設(shè)A、B分別為橢圓 和雙曲線的公共的左、右頂點(diǎn)。P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且滿足 。設(shè)直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄.

（1）求證：k₁+k₂+k₃+k₄=0；

（2）設(shè) F₁、F₂分別為橢圓和雙曲線的右焦點(diǎn)。若，求的值。

Answer 1

解析：(1)設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則 

   k₁+k₂=  ①……………(4分)

 同理可得意k₃+k₄=    ②     …………………………(7分)

   設(shè)O為原點(diǎn)，則，

所以，O，P，Q三點(diǎn)共線，于是得．

由①②得 k_l+k₂+k₃+k₄=0； ………………………………………(11分)

(2) 由點(diǎn)Q在橢圓上，有=1．   

由 ，得(x_l，y₁)=(x₂，y₂)．

所以  x₂=x _l，y₂=y _l，從而=²    ③

又由點(diǎn)P在雙曲線上，有=1    ④   

由③④得  ……………………(15分)

因?yàn)镻F₂∥QF₁，所以| OF₂|=|OF₁| ，所以

………………………………(18分)

由①得  ．同理可得  ．另一方面，

k_lk₂=．類似地，k₃k₄=．

故－2(k_lk₂+k₃k₄)=8 …(22分)