Question

已知定義在區(qū)間（2，2]上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=

4

f(x)+2

，當(dāng)x∈[0，2]，f（x）=x，若g（x）=f（x）-mx-m有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、0＜m≤

  2

  3

  或-6-4

  2

  ＜m＜0
• B、0＜m≤

  2

  3

  或m＜-6+4

  2

• C、0＜m≤

  2

  3

  或m＜-6-4

  2

• D、0＜m≤

  2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出f（x）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵定義在區(qū)間（2，2]上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=

4

f(x)+2

，
∴f（x）+2=

4

f(x+2)

，即f（x）=

4

f(x+2)

-2，
若-2≤x≤0，則0≤x+2≤2，
∴f（x+2）=x+2，
即此時(shí)f（x）=

4

f(x+2)

-2=

4

x+2

-2=

-2x

x+2

，（-2≤x≤0），
由g（x）=f（x）-mx-m=0得f（x）=mx+m，
設(shè)g（x）=mx+m=m（x+1），則g（x）過(guò)定點(diǎn)（-1，0），
作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象如圖：
若g（x）=f（x）-mx-m有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
則等價(jià)為f（x）與g（x）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
由圖象可知當(dāng)g（x）過(guò)點(diǎn)A（2，2）時(shí)，滿足條件，此時(shí)3m=2，
解得m=

2

3

，∴當(dāng)0＜m≤

2

3

時(shí)，滿足條件．
當(dāng)直線g（x）與f（x）相切時(shí)，當(dāng)直線在和f（x）=

-2x

x+2

，（-2≤x≤0）相切與垂直x軸之間時(shí)，也是兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)解得m＜-6-4

2

，
綜上0＜m≤

2

3

或m＜-6-4

2

，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．注意使用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．