Question

如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是BC的中點(diǎn)，D₁是B₁C₁的中點(diǎn)．
求證：（1）A₁B∥平面AC₁D；
（2）平面A₁BD₁∥平面AC₁D．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)A₁C交AC₁于點(diǎn)E，連結(jié)DE，連結(jié)ED，由已知條件推導(dǎo)出A₁B∥ED，由此能證明A₁B∥平面AC₁D．
（2）由已知和得BD₁∥C₁D，A₁D₁∥AD，從而BD₁∥平面AC₁D，A₁D₁∥平面AC₁D．由此能證明平面A₁BD₁∥平面AC₁D．

解答： （1）證明：如圖，連結(jié)A₁C交AC₁于點(diǎn)E，連結(jié)DE，
∵四邊形A₁ACC₁是平行四邊形，
∴E是A₁C的中點(diǎn)．連結(jié)ED，
∵A₁B∥平面AC₁D，平面A₁BC∩平面AC₁D=ED，
∴A₁B∥ED．
∵A₁B不包含于平面AC₁D，ED?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D．
（2）證明：∵E是A₁C的中點(diǎn)，
∴D是BC的中點(diǎn)．
又∵D₁是B₁C₁的中點(diǎn)，∴BD₁∥C₁D，A₁D₁∥AD，
∴BD₁∥平面AC₁D，A₁D₁∥平面AC₁D．
又A₁D₁∩BD₁=D₁，∴平面A₁BD₁∥平面AC₁D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．