Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a²x²（a＞0）．
（1）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移一個(gè)單位即可得到函數(shù)y=φ（x）的圖象，寫(xiě)出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=a²x²（a＞0），將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移一個(gè)單位可得到函數(shù)y=φ（x）的圖象，
∴y=φ（x）的解析式為：y=φ（x）=a²（x-1）²，由完全平方非負(fù)的特點(diǎn)可知其值域?yàn)椋篬0，+∞）
（2）解法一：不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)?（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三個(gè)整數(shù)解，
故1-a²＜0．令h（x）=（1-a²）x²-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a²＜0（a＞0）
所以函數(shù)h（x）=（1-a²）x²-2x+1的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（0，1），另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間[-3，-2）
故解得
解法二：（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三個(gè)整數(shù)解，故1-a²＜0，即a＞1
（1-a²）x²-2x+1=[（1-a）x-1][（1+a）-1]＞0
所以，又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/74532.png' />
所以，解得
分析：（1）由圖象的平移可知y=φ（x）的解析式；
（2）解法一不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)?（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三個(gè)整數(shù)解，故解得，
解法二：（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三個(gè)整數(shù)解，故1-a²＜0，即a＞1，可得，解得．
點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)的圖象變換，涉及不等式的解法和屬性結(jié)合的思想，屬基礎(chǔ)題．