Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若函數(shù)在處取得極值，對(duì),恒成立，

求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)且時(shí)，試比較的大小．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)在上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn)（Ⅱ）（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得，

所以當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減，

∴在上沒有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由得，得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當(dāng)時(shí)在上沒有極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn)．                                ……3分

（Ⅱ）∵函數(shù)在處取得極值，∴，

∴，                                         ……5分

令，可得在上遞減，在上遞增，

∴，即．                                  ……7分

（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,e²)上單調(diào)減，

   ∴時(shí)，，

    即.

    當(dāng)時(shí)，，∴， ∴，

    當(dāng)時(shí)，，∴, ∴.

……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等問題，考生學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)比較好的工具，給出函數(shù)可以利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為最值問題來解決，如果最值不好求，可以構(gòu)造新函數(shù)再次利用導(dǎo)數(shù)求解，一定要靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，使導(dǎo)數(shù)的功能完全發(fā)揮出來.