Question

【題目】已知數(shù)列滿足，且，．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）．

【解析】試題分析：

(1)利用題中的遞推關(guān)系計(jì)算可得后項(xiàng)與前項(xiàng)的比值為定值，計(jì)算首項(xiàng)為即可證得數(shù)列為等比數(shù)列；

(2)原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的都成立，分類討論可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是．

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，，，

所以，

所以，

又，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即，

則

．

又 ，

要使對(duì)任意的都成立，

即（*）對(duì)任意的都成立．　

①當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，由（*）得，，

即，

因?yàn)?/span>，

所以對(duì)任意的正奇數(shù)都成立，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值1，

所以．

②當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，由（*）得，

，

即，

因?yàn)?/span>，

所以對(duì)任意的正偶數(shù)都成立．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，所以．

綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的都成立，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是．