Question

已知函數(shù)f（x）=|log_ax|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）-3的零點(diǎn)；
（2）若存在互不相等的正實(shí)數(shù)m，n，使f（m）=f（n），判斷函數(shù)g（x）=m^x+n^x-1的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）在（2）的條件下，若m＞n，當(dāng)x＞m時(shí)，求函數(shù)y=log_mxlog_nx+log_mx的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求解|log

x 2

|=3即可．（2）運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義證明，（3）轉(zhuǎn)化為y=-（log

x m

-

1

2

）²+

1

4

求解．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，
令f（x）-3=0得log₂x=3或log₂x=-3；
所以x=8或x=

1

8

所以函數(shù)f（x）-3的零點(diǎn)為8或

1

8

（2）因?yàn)閒（m）=f（n）
所以log_am=log_an或log_am=-log_an
所以m=n（舍去）或m=

1

n

因?yàn)間（x）=m^x+（m^-1）^x-1=m^x+m^-x-1且定義域?yàn)镽
所以g（-x）=m^-x+m^x-1=g（x）
所以g（x）為偶函數(shù)
（3）由（2）得m=

1

n

y=logmxlogm-1x+logmx =-logm2x+logmx =-(logmx- 1 2 )2+ 1 4

因?yàn)閤＞m＞n，所以m＞1
所以log_mx＞1
所以y_max＜0
所以g（x）的值域?yàn)椋?∞，0）

點(diǎn)評(píng)：本題考察了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的，不等式求解．屬于中檔題．