Question

如果一個(gè)n面體共有m個(gè)面是等腰三角形，那我們稱這個(gè)n面體的“等度”為

m

n

，現(xiàn)在以下說(shuō)法：
①已知p：一個(gè)三棱錐的“等度”是1，q：該四面體為正四面體，則p是q的充要條件；
②已知方程sinx=

m

n

，x（0，π），則該方程一定有兩解；
③若四棱錐從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的四條棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)均為a，則其等度為

4

5

，且體積

2

6

a³；
④正六棱錐的等度為

6

7

；
⑤已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，現(xiàn)截去一頂點(diǎn)為A的三棱錐A-BCA₁，則剩余幾何體的等度為

4

7

，且體積為

5

6

．
其中正確的為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義

分析：根據(jù)等度的定義一一判斷，對(duì)于②可取特殊值x=

π

2

，同時(shí)要注意棱錐的體積公式是V=

1

3

sh，不規(guī)則幾何體的體積運(yùn)用間接法求得．

解答： 解：對(duì)于①，若一個(gè)三棱錐的“等度”是1，只能說(shuō)明其四個(gè)面均為等腰三角形，但不一定均為等邊三角形，故p是q的必要不充分條件．故①錯(cuò)；
對(duì)于②，令f（x）=

m

n

，g（x）=sinx，x∈（0，π），因?yàn)?span id="dyg4kb8" class="MathJye">

m

n

∈[0，1]，故當(dāng)x=

π

2

時(shí)，f（x），g（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程只有一個(gè)實(shí)根．故②錯(cuò)；
對(duì)于③，可知該棱錐為正四棱錐，共有5個(gè)面，其中4個(gè)為等腰三角形，故等度為

4

5

，體積為V=V=

1

3

a2

a2-( 2 2 a)2

=

2

6

a3，故③對(duì)；
對(duì)于④，正六棱錐有7個(gè)面，其中側(cè)面有6個(gè)等腰三角形，故等度為

6

7

，故④對(duì)；
對(duì)于⑤，截去的為一個(gè)三棱錐，總的面數(shù)為7，其中等腰三角形3個(gè)，等邊三角形1個(gè)，故等度為

4

7

，剩余幾何體的體積為13-

1

3

•

1

2

•1•1•1=

5

6

，故⑤對(duì)．
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道新定義題，考查學(xué)生的理解能力和空間想象能力和判斷能力，是一道中檔題．