Question

已知△ABC的兩頂點坐標(biāo)A(－1,0)，B(1,0)，圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點分別為P，Q，R，|CP|＝1(從圓外一點到圓的兩條切線長相等)，動點C的軌跡為曲線M.

(1)求曲線M的方程；

(2)設(shè)直線BC與曲線M的另一交點為D，當(dāng)點A在以線段CD為直徑的圓上時，求直線BC的方程．

Answer 1

解：(1)由題知，|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4>|AB|，∴曲線M是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓(除去與x軸的交點)．

設(shè)曲線M：＋＝1(a>0>0，y≠0)，則2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b²＝a²－c²＝3.

∴曲線M：＋＝1(y≠0)．

(2)注意到直線BC的斜率不為0，且過定點B(1,0)，

設(shè)直線BC：x＝my＋1，C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)．

由消去x，得

(3m²＋4)y²＋6my－9＝0.

Δ＝36m²＋36(3m²＋4)>0.

∵＝(my₁＋2，y₁)，＝(my₂＋2，y₂)，

＝(my₁＋2)(my₂＋2)＋y₁y₂

＝(m²＋1)y₁y₂＋2m(y₁＋y₂)＋4

∵點A在以CD為直徑的圓上，

∴＝0，∴m＝±.

∴直線BC的方程為3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.