【題目】已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若
(i)證明恰有兩個(gè)零點(diǎn);
(ii)設(shè)為
的極值點(diǎn),
為
的零點(diǎn),且
證明:
.
【答案】(1)在
和
上單調(diào)遞增;(2)(i)證明見(jiàn)解析;(ii)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可;
(2)(i)對(duì)求導(dǎo)研究其單調(diào)性,可得
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,其中
,再證明
,而
,
,故利用零點(diǎn)存在性定理即可證明
恰有兩個(gè)零點(diǎn);
(ii)由(i)可知,且
故結(jié)合
即可求出
,從而得到
,再利用不等式
(
),即可放縮等式,得出結(jié)論.
(1)
,
因此,在
和
上單調(diào)遞增;
(2)(i),
對(duì)求導(dǎo)得,
,
當(dāng)時(shí),
,則
;
當(dāng)時(shí),令
則在
上單調(diào)遞增,
而,
故存在,使
,即
,
且在上
,在
上
,
因此,在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
所以,
又,則
,
而,
,(注:取值不唯一)
恰有兩個(gè)零點(diǎn);
(ii)為
的極值點(diǎn),
為
的零點(diǎn),且
,
故由(i)可知,并且有
,
則,
因此,即
,
而當(dāng)時(shí),
,
下面證明此結(jié)論:
令,求導(dǎo)得
,
則在上時(shí),
;在
上時(shí),
,
所以在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
因此,
所以,當(dāng)時(shí),
那么對(duì)于有
,
可得,而
,
即
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為別為
、
,且過(guò)點(diǎn)
和
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖,點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(非長(zhǎng)軸端點(diǎn)),
的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)
,
的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)
,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),以
軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求的普通方程和
的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線與
軸的交點(diǎn)為
,經(jīng)過(guò)點(diǎn)
的直線
與曲線
交于
兩點(diǎn),若
,求直線
的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)求直線與曲線
相切時(shí),切點(diǎn)
的坐標(biāo);
(2)當(dāng)時(shí),
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知多面體ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)證明:AB1⊥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求兩條異面直線AC1與BE所成角的余弦值;
(2)求直線BB1與平面BED1F所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車(chē)難的問(wèn)題,擬對(duì)小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地進(jìn)行改建.如圖所示,平行四邊形
區(qū)域?yàn)橥\?chē)場(chǎng),其余部分建成綠地,點(diǎn)
在圍墻
弧上,點(diǎn)
和點(diǎn)
分別在道路
和道路
上,且
米,
,設(shè)
.
(1)求停車(chē)場(chǎng)面積關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式,并指出
的取值范圍;
(2)當(dāng)為何值時(shí),停車(chē)場(chǎng)面積
最大,并求出最大值(精確到
平方米).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在下列命題中:①在中,
,
,
,則解三角形只有唯一解的充要條件是:
;②當(dāng)
時(shí),
;③在
中,若
,則
中一定為鈍角三角形;④扇形圓心角
為銳角,周長(zhǎng)為定值,則它面積最大時(shí),一定有
;⑤函數(shù)
的單增區(qū)間為
,其中真命題的序號(hào)為_____.
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