Question

已知f（x）=

3x，x≥0 πx，x＜0

，若對任意x∈[-1-a，a-1]，不等式f（

2

x-a）≥[f（x）]²恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  4- 2

  7

  ]
• B、（0，

  4- 3

  7

  ]
• C、（1，

  4- 2

  7

  ]
• D、（1，

  2+ 2

  7

  ]

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：由分段函數(shù)得[f（x）]²=f（2x），將不等式恒成立問題轉化為對任意x∈[-1-a，a-1]，不等式f（

2

x-a）≥f（2x）恒成立，由f（x）的單調(diào)性得到

2

x-a≥2x，運用參數(shù)分離，以及函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍．

解答： 解：∵f（x）=

3x，x≥0 πx，x＜0

，
∴[f（x）]²=f（2x），
∵對任意x∈[-1-a，a-1]，不等式f（

2

x-a）≥[f（x）]²恒成立，
即對任意x∈[-1-a，a-1]，不等式f（

2

x-a）≥f（2x）恒成立，
∵f（x）在R上是增函數(shù)，
∴

2

x-a≥2x，即a≤-（2-

2

）x，
又x∈[-1-a，a-1]，
∴當x=a-1時，-（2-

2

）x取最小值-（2-

2

）（a-1），
∴a≤-（2-

2

）（a-1），解得a≤

4- 2

7

，
又a-1＞-1-a，即a＞0，
故0＜a＜

4- 2

7

．
故選：A．

點評：本題考查分段函數(shù)及應用，考查函數(shù)的單調(diào)性和運用，考查解不等式的運算，及恒成立問題的解決方法：參數(shù)分離法，屬于中檔題．