Question

已知拋物線x²＝4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且＝λ（λ＞0）．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為Ｍ．

（Ⅰ）證明·為定值；（Ⅱ）設△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達式，并求S的最小值．

Answer 1

附加題（理科學生做）

解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由＝λ，

即得　　(－x₁，1－y)＝λ(x₂，y₂－1)，

將①式兩邊平方并把y₁＝x₁²，y₂＝x₂²代入得　　y₁＝λ²y₂   ③

解②、③式得y₁＝λ，y₂＝，且有x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4，

拋物線方程為y＝x²，求導得y′＝x．

所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是

y＝x₁(x－x₁)＋y₁，y＝x₂(x－x₂)＋y₂，即y＝x₁x－x₁²，y＝x₂x－x₂²．

解出兩條切線的交點M的坐標為(，)＝(，－1)．   ……4分

所以·＝(，－2)·(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(x₂²－x₁²)－2(x₂²－x₁²)＝0

所以·為定值，其值為0．　　　……7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝＝

＝＝＋．

因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y＝－1的距離，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y₁＋y₂＋2＝λ＋＋2＝(＋)²．

于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)³，

由＋≥2知S≥4，且當λ＝1時，S取得最小值4．