Question

已知cosβ=

1

3

，sin（α+β）=

7

9

，α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π）．
（Ⅰ）求cos2β的值；
（Ⅱ）求sinα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由二倍角的余弦公式，cos2β=2cos²β-1，根據(jù)已知即可求值．
（Ⅱ）sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，只要求出sinβ，cos（α+β）的值，根據(jù)已知代入即可求出其值．

解答： 解：（Ⅰ）由條件：cosβ=

1

3

，β∈（

π

2

，π）得cos2β=2cos²β-1=-

7

9

；
（Ⅱ）因?yàn)閏osβ=

1

3

，β∈（

π

2

，π），所以sinβ=

2 2

3

，
因?yàn)�，α∈�?，

π

2

），β∈（

π

2

，π），所以α+β∉（

π

2

，

3π

2

），
又sin（α+β）=

7

9

，所以cos（α+β）=-

4 2

9

，
所以sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了二倍角的余弦公式、兩角和與差的正弦公式等的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．