已知函數(shù)f（x）=
x+a
x2+1
，x∈[-1，1]為奇函數(shù)．
（1）求f（
1
2
）的值；
（2）判斷f（x）在定義域上單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），帶入f（x）解析式即可求得a；
（2）求f′（x），根據(jù)f′（x）在定義域上的符號即可判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性．
解答： 解：（1）f（-x）=
-x+a
x2+1
=-
x+a
x2+1
；
∴-x+a=-x-a，∴a=0；
∴f（x）=
x
x2+1
，f（
1
2
）═
2
5
；
（2）f′（x）=
x2+1-x(2x)
(x2+1)2
=
1-x2
(x2+1)2
；
∵x∈[-1，1]，∴1-x2≥0，f′（x）≥0；
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增．
點評：考查奇函數(shù)的定義，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)在一區(qū)間上單調(diào)性的方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α為銳角，且tan（
π
4
+α）=-2，計算
4sinα-2cosα
5cosα+3sinα
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果sin（3π+θ）=
1
4
，求：
cos(π+θ)
cosθ[cos(π+θ)-1]
+
cos(θ-2π)
cos(θ+2π)cos(π+θ)+cos(-θ)
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+bx在區(qū)間（-2，1）內(nèi)，當(dāng)x=-1時取得極小值，當(dāng)x=
2
3
時取得極大值．
（1）求函數(shù)y=f（x）在x=-2時的對應(yīng)點的切線方程．
（2）求函數(shù)f（x）在[-2，1]上的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=2，C=
π
3
．
（1）若△ABC的面積等于
3
，求a，b；
（2）若sin（A+C）=2sinA，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
3
sinωx•cosωx+sin2ωx+k，（ω＞0）．
（1）若f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于
π
2
，求ω的取值范圍；
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當(dāng)x∈[-
π
6
，
π
6
]時，f（x）的最大值是
1
2
，求f（x）最小值，并說明如何由y=sin2x的圖象變換得到y(tǒng)=f（x）的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+4），且x∈（0，2]時，f（x）=
3x
3x+1
．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）判斷f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，并給予證明；
（3）當(dāng)λ為何值時，關(guān)于方程f（x）=λ在[-2，2]上有實數(shù)解？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=
x
+1．
（1）用定義證明：f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
5
3
，定點M（2，0），橢圓短軸的端點是B1，B2，且MB1⊥MB2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過點M且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點．試問x軸上是否存在異于M的定點P，使PM平分∠APB？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊答案