Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+4），且x∈（0，2]時，f（x）=

3x

3x+1

．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）判斷f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，并給予證明；
（3）當(dāng)λ為何值時，關(guān)于方程f（x）=λ在[-2，2]上有實(shí)數(shù)解？

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件可得函數(shù)的周期為4，設(shè)x∈[-2，0），則-x∈（0，2]，根據(jù)f（-x）=

3-x

3-x+1

=

1

1+3x

=-f（x），求得f（x）=

-1

1+3x

．再根據(jù)奇函數(shù)的定義可得f（0）=0，從而求得可得，f（x）在[-2，2]上的解析式．
（2）根據(jù)f（0）=0，當(dāng)x∈（0，2]時，由于f（x）=1-

1

3x+1

＞0，且f（x）隨著x的增大而增大，可得f（x）在[0，2]上是增函數(shù)．再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．
（3）由題意可得，本題即求函數(shù)λ=f（x）在[-2，2]上的值域，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域．

解答： 解：（1）∵奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+4），故函數(shù)的周期為4．
由于x∈（0，2]時，f（x）=

3x

3x+1

，設(shè)x∈[-2，0），則-x∈（0，2]，故 f（-x）=

3-x

3-x+1

=

1

1+3x

=-f（x），
∴f（x）=

-1

1+3x

．
再根據(jù)奇函數(shù)的定義可得f（0）=0，可得，f（x）在[-2，2]上的解析式為f（x）=

3x 3x+1 ，x∈(0，2] 0，x=0 -1 3x+1 ，x∈[-2，0)

．
（2）在[0，2]上，f（0）=0，當(dāng)x∈（0，2]時，由于f（x）=

3x

3x+1

=1-

1

3x+1

＞0，
且f（x）隨著x的增大而增大，故f（x）在[0，2]上是增函數(shù)．
證明：設(shè)0≤x₁＜x₂≤2，則由f（x₁）-f（x₂）=[1-

1

3x1

]-[1-

1

3x2

]=

3x1-3x2

3x1•3x2

＜0，可得f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[0，2]上是增函數(shù)．
（3）由題意可得，本題即求函數(shù)λ=f（x）在[-2，2]上的值域．
利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域?yàn)?{λ|y=0，或

1

2

＜λ≤

9

10

，或-

9

10

≤λ＜-

1

2

}，
故λ的范圍為：{λ|y=0，或

1

2

＜λ≤

9

10

，或-

9

10

≤λ＜-

1

2

}．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的周期性、單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，求函數(shù)的解析式和函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．