Question

已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，，
（1）判斷并證明y=f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）求不等式的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁＜x₂＜0，通過作差，變形，判號(hào)證明f（x₁）＜f（x₂），即可
（2）當(dāng)x≤0時(shí)f（x）=，運(yùn)用均值定理，先求出當(dāng)x≤0時(shí)函數(shù)f（x）的值域，再利用對(duì)稱性得y=f（x）的值域
（3）由（2）知，不等式?，將f（x）中的3^x看成整體，轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解，再解指數(shù)不等式即可得所求解集
解答：解：（1）設(shè)x₁＜x₂＜0，則，
∵，
∴f（x₁）＜f（x₂），即y=f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)．   
（2）∵，
∴當(dāng)x≤0時(shí)，；             
∵當(dāng)x＞0時(shí)，．       
綜上得 y=f（x）的值域?yàn)?nbsp;．            
（3）∵，
又∵，∴，此時(shí)單調(diào)遞增，
∵，∴時(shí)，x＞1⇒3^x＞3．
令，
即，
∴不等式的解集是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義及運(yùn)用，利用函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性解不等式、求值域的方法，解題時(shí)要特別利用對(duì)稱性，提高解題速度