Question

若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（-∞，0]上是單調(diào)遞減的，且f（1）=0，則使f（x）＜0的x的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)f（x）在（-∞，0]上是單調(diào)遞減的，f（-1）=-f（1）=0，得當(dāng)x＜0時，f（x）＜0的x的取值范圍是（-1，0），再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，得到當(dāng)f（x）＜0=f（1）時，0＜x＜1，最后結(jié)合f（0）=-f（0）=0，得到x的取值范圍．
解答：解：首先，當(dāng)x＜0時，根據(jù)f（x）在（-∞，0]上是單調(diào)遞減的
所以f（x）＜0=f（-1），可得-1＜x＜0
又∵偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱
∴在（-∞，0]上是單調(diào)遞減的偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
因為f（1）=0，所以當(dāng)f（x）＜0時，0＜x＜1
而f（0）=-f（0）=0
所以使f（x）＜0的x的取值范圍是 （-1，1）
故答案為：（-1，1）
點評：本題以函數(shù)奇偶性為例，考查了用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，屬于基礎(chǔ)題．解題時應(yīng)該注意函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的內(nèi)在聯(lián)系，是解決本題的關(guān)鍵．