Question

【題目】某學校隨機抽取100名考生的某次考試成績，按照[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（滿分100分）分為5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學生的成績均不低于75分）．已知第3組，第4組，第5組的頻數成等差數列；第1組，第5組，第4組的頻率成等比數列．

（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計抽取的100名學生成績的中位數和平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）若從第3組、第4組、第5組中按分層抽樣的方法抽取6人，并從中選出3人，求這3人中至少有1人來自第4組的概率．

Answer 1

【答案】(1) a＝0.04，中位數．平均數87.25；(2)．

【解析】

（1）根據頻率之和為1，即可求出的值，再根據頻率分布直方圖求出平均數，中位數。（2）首先分別按比例從第3組、第4組、第5組中抽出3、2、1人，從6位同學中抽取3位同學有20種可能，找出3人中至少有1人來自第4組的情況。

（1）設第3組，第5組的頻率分別為x，y，

由題意可得，

解得x＝0.3，y＝0.1，a＝0.04，

∴（）＝87.25，

由頻率分布直方圖知，中位數在[85，90），設中位數為m，

則0.01×5+0.07×5+0.06×（m﹣85）＝0.5，

解得中位數m．

（2）∵成績較好的第3組、第4組、第5組中的人數分別為30，20，10，

∴按分層抽樣的方法在各組抽取的人數分別為3，2，1，

設第3組的3位同學分別為A1，A2，A3，第4組的2位同學分別為B1，B2，第5組的1位同學為C，

則從6位同學中抽取3位同學有20種可能，分別為：

（），（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，C），（A1，A3，B1），（A1，A3，B2），（A1，A3，C），（A1，B1，B2），（A1，B1，C），（A1，B2，C），（A2，A3，B1），（A2，A3，B2），（A2，A3，C），（A2，B1，B2），（A2，B1，C），（A2，B2，C），（A3，B1，B2），（A3，B1，C），（A3，B2，C），（B1，B2，C），

這3人中至少有1人來自第4組包含的基本事件有16個，分別為：

（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A3，B1），（A1，A3，B2），（A1，B1，B2），（A1，B1，C），（A1，B2，C），（A2，A3，B1），（A2，A3，B2），（A2，B1，B2），（A2，B1，C），（A2，B2，C），（A3，B1，B2），（A3，B1，C），（A3，B2，C），（B1，B2，C），

∴這3人中至少有1人來自第4組的概率為P．