Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行．

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)．證明：對任意，．

Answer 1

【答案】（1）（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（3）見解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)得，由曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行可得，求得；

（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由此判斷函數(shù)的增減性；

（3），可結(jié)合（2）中求導(dǎo)，得，又，所以滿足，進(jìn)而得證

解：（1）由，得，，

由于曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行．所以，因此．

（2）由（1）得，，令，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

又，所以時(shí)，；時(shí)，．

因此的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（3）因?yàn)?/span>，所以，，

由（2）得，，求導(dǎo)得．

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．

故

所以當(dāng)時(shí)，．又當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，，即．綜上所述結(jié)論成立