已知曲線C上的動點P(x,y)滿足到點F(0,1)的距離比到直線l:y=-2的距離小1.
(1)求曲線C的方程;
(2)動點E在直線l上,過點E分別作曲線C的切線EA、EB,切點為A、B.
(i)求證:直線AB恒過一定點,并求出該定點的坐標(biāo);
(ii)在直線l上是否存在一點E,使得△ABM為等邊三角形(M是線段AB的中垂線與直線l的交點)?若存在,求出點E的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
考點:軌跡方程,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,恒過定點的直線
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)由題意可知,動點P(x,y)的軌跡為以F(0,1)為焦點,以y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,則拋物線方程可求;
(2)(i)設(shè)出E點坐標(biāo),A(x1,y1),B(x2,y2),求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù),得到切線EA、EB的方程,把E點坐標(biāo)代入切線方程,可知x1,x2是方程
1
4
x2-
x0
2
x-2=0
的兩根.由根與系數(shù)關(guān)系得到x1+x2=2x0,x1x2=-8.
由兩點式寫出AB的方程后代入即可證得直線AB恒過一定點(0,2);
(ii)聯(lián)立直線好拋物線方程,根據(jù)△ABM為等邊三角形得到|MN|=
3
2
|AB|
,由此求出E點的坐標(biāo).
解答: (1)解:由曲線C上的動點P(x,y)滿足到點F(0,1)的距離比到直線l:y=-2的距離小1,
可知曲線C上的動點P(x,y)到點F(0,1)的距離與到直線l:y=-1的距離相等.
∴動點P(x,y)的軌跡為以F(0,1)為焦點,以y=-1為準(zhǔn)線的拋物線.
方程為x2=4y;
(2)(i)證明:設(shè)E(x0,-2),y=
x
2

A(x1,y1),B(x2,y2),
則切線EA:y-y1=
x1
2
(x-x1)
,y=
x1
2
x-
1
4
x12

同理,切線EB:y=
x2
2
x-
1
4
x22

把E(x0,-2)代入切線方程得:
1
4
x12-
x0
2
x1-2=0,
1
4
x22-
x0
2
x2-2=0

則x1,x2是方程
1
4
x2-
x0
2
x-2=0
的兩根.
∴x1+x2=2x0,x1x2=-8.
直線AB:y=
x1+x2
4
x-
x1x2
4
=
x0
2
x+2
,經(jīng)過定點(0,2);
(ii)解:把y=
x0
2
x+2
代入x2=4y得到x2-2x0x-8=0.
|AB|=2
1+
x02
4
x02+8
,AB中點N(x0
x02+4
2
)

設(shè)M(m,-2),則
x02+8
2
-m+x0
=-
2
x0
,m=
x03+12x0
4

|MN|=
(
x03+8x0
4
)2+(
x02+8
2
)2
=
3
2
|AB|
=
3
2
•2
1+
x02
4
x02+8

解得:x02=4,x0=±2.
∴E(±2,-2).
點評:本題考查了軌跡方程的求法,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點處的切線方程,考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,考查了學(xué)生的計算能力,是壓軸題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A,B是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的右頂點和上頂點,F(xiàn)1是它的左焦點,過F1作PF1⊥x軸,與橢圓在x軸上方的交點為P,OP∥AB.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若AB=
3
,求該橢圓方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,若(a2+c2-b2)tanB=
3
ac,則角B的值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足條件:①f(3-x)=f(x);②f(1)=0;③對任意實數(shù)x,f(x)≥
1
4a
-
1
2
恒成立.請解決下列問題:
(1)求f(x)的解析式.
(2)若g(x)=f(x)-kx在[-2,2]上不單調(diào),求實數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
sin(x+
π
6
),求函數(shù):
(1)最小正周期; 
(2)對稱中心; 
(3)單調(diào)遞增區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

自點A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上,被x軸反射,反射光線所在的直線與圓C:x2+y2-4x-4y+7=0相切
(1)求反射光線所在的直線方程(用一般式表示);
(2)光線自A到切點所經(jīng)過的路程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,M、N分別為A1B和B1C1的中點,

(1)求證:直線MN∥平面AA1C1C;
(2)若A1B⊥B1C,A1N⊥B1C1,求證:B1C⊥AC1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,π]的值域是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:對?x∈R+,a<x+
1
x
恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案