Question

已知定義在R上的函數y=f（x）滿足下列三個條件：
①對任意的x∈R都有f（x）=f（x+4）；
②對于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），
③y=f（x+2）的圖象關于y軸對稱，
則下列結論中，正確的是（ ）
A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）
B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
C．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
D．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）

Answer 1

【答案】分析：求解本題需要先把函數的性質研究清楚，由三個條件知函數周期為4，其對稱軸方程為x=2，在區(qū)間[0，2]上是增函數，觀察四個選項發(fā)現(xiàn)自變量都不在已知的單調區(qū)間內故應用相關的性質將其值用區(qū)間[0，2]上的函數值表示出，以方便利用單調性比較大�。�
解答：解：由①②③三個條件知函數的周期是4，在區(qū)間[0，2]上是增函數且其對稱軸為x=2
∴f（4.5）=f（0.5），
f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1），
f（6.5）f（2.5）=f（2+0.5）=f（2-0.5）=f（1.5）
∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，函數y=f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數
∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
故選B．
點評：本題考點是函數單調性的應用，綜合考查了函數的周期性，函數的對稱性與函數的單調性，以及函數圖象的平移規(guī)律，涉及到了函數的三個主要性質，本題中同期性與對稱性的作用是將不在同一個單調區(qū)間上的函數值的大小比較問題轉化成一個單調區(qū)間上來比較，函數圖象關于直線x=a對稱，有兩個等價方程一為f（a+x）=f（a-x），一為f（x）=f（2a-x），做題時應根據題目條件靈活選擇對稱性的表達形式．