Question

對于函數f（x）=x²（x＞0）圖象上任意兩點A（a，a²），B（b，b²），直線段AB必在曲線段AB的上方，則依據圖象的特征可得不等式

a2+b2

2

＞（

a+b

2

）²（a＞0，b＞0），試分析函數y=lgx的圖象特征，類比上述不等式可以得到

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：推理和證明

分析：首先根據函數f（x）=x²（x＞0）的圖象可知，此函數的圖象是向下凹的，即可得到不等式

a2+b2

2

＞（

a+b

2

）²（a＞0，b＞0）；然后再根據對數函數的圖象的特征，類比得到相應的不等式即可．

解答： 解：由函數f（x）=x²（x＞0）圖象上任意兩點A（a，a²），B（b，b²），直線段AB必在曲線段AB的上方，
則依據圖象的特征可得不等式

a2+b2

2

＞（

a+b

2

）²（a＞0，b＞0）；
所以我們從圖象可以看出：
函數f（x）=x²（x＞0）的圖象是向下凹的，
類比對數函數可知，對數函數的圖象是向上凸的，
分析函數y=lnx（x＞0）的圖象特征，類比上述不等式，
可以得到的不等式是：

lga+lgb

2

＜lg

a+b

2

（a＞0，b＞0）．
故答案為：

lga+lgb

2

＜lg

a+b

2

（a＞0，b＞0）．

點評：本題主要考查了類比推理的方法的運用，屬于基礎題，要掌握好類比推理的方法，根據已知的規(guī)律推得新的規(guī)律；解答此題的關鍵是熟練掌握對數函數圖象的凸凹性．