Question

設函數(shù)f（x）=x²+2bx+c（c＜b＜1）的一個零點是1，且函數(shù)g（x）=f（x）+1也有零點．
（1）證明：-3＜c≤-1，且b≥0；
（2）若m是函數(shù)g（x）的一個零點，試判斷f（m-4）的正負，并加以證明．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由f（1）=0，找到b與c的關系，再由b的范圍，求得c的范圍，再由函數(shù)g（x）=f（x）+1也有零點，進一步求得c的范圍，前后范圍取交集．
（2）先明確函數(shù)f（x）=x²+2bx+c的圖象與x軸交于A（c，0）、B（1，0）兩點，再由f（m）=-1＜0，確定m范圍，進而確定m-4的范圍，通過兩個交點A，B確定其符號．

解答： 解：（1）∵f（1）=0，∴1+2b+c=0；
∴b=-

c+1

2

．
又c＜b＜1，
故c＜-

c+1

2

＜1．即-3＜c＜-

1

3

．
又f（x）+1=0有實數(shù)根．
即x²+2bx+c+1=0有實數(shù)根．
∴△=4b²-4（c+1）≥0；
即（c+1）²-4（c+1）≥0；
∴c≥3或c≤-1；
又-3＜c＜-

1

3

，取交集得-3＜c≤-1，
由b=-

c+1

2

，知b≥0．
（2）f（x）=x²+2bx+c
=x²-（c+1）x+c
=（x-c）（x-1）．
∴函數(shù)f（x）=x²+2bx+c的圖象與x軸交于A（c，0）、B（1，0）兩點；
∵f（m）=-1＜0，∴c＜m＜1；
∴c-4＜m-4＜1-4＜c；
∴m-4＜c．
∵f（x）=x²+2bx+c在（-∞，c）上遞減，
∴f（m-4）＞f（c）=0．
∴f（m-4）的符號為正．

點評：本題屬代數(shù)推理題，將二次函數(shù)、二次方程與不等式結(jié)合起來考查．探求二次函數(shù)背景下的不等式問題，實質(zhì)是將二次函數(shù)的有關性質(zhì)進行適當轉(zhuǎn)化．