Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，過垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；內(nèi)切圓面積的最大值為，直線的方程為

【解析】

（1）設(shè)橢圓方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，由，可得，又，由此可求橢圓方程；

（2）設(shè)，，，，不妨，，設(shè)△的內(nèi)切圓的徑，則△的周長(zhǎng)，，因此最大，就最大．設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示△的面積，利用換元法，借助于導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論．

解：（1）設(shè)橢圓方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得.

由，可得.又，得，.

故橢圓方程為.

（2）設(shè)，，不妨令，，

設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長(zhǎng)為，

，

因此要使內(nèi)切圓的面積最大，則最大，此時(shí)也最大.

，

由題知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，

由得，

得，，

則，令，則，

則

令，則，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

有，，

當(dāng)，時(shí)，，又，∴

這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為