Question

19．已知正三棱錐A-BCD中，BC=3$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{6}$，則三棱錐外接球的表面積為32π．

Answer 1

分析 求出三棱錐底面外接圓的半徑，然后求解外接球的半徑，然后求解球的表面積．

解答 解：正三棱錐A-BCD中，BC=3$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{6}$，
底面BCD的外接圓的半徑為：$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×3\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$，
三棱錐的高為：$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{6}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
設外接球的半徑為：r，則：r²=$（\sqrt{6}）^{2}+（3\sqrt{2}-r）^{2}$．解得r=2$\sqrt{2}$
則三棱錐外接球的表面積為：4$π×（2\sqrt{2}）^{2}$=32π．
故答案為：32π．

點評 本題考查三棱錐的外接球的表面積的求法，求解外接球的半徑是解題的關鍵，考查計算能力空間想象能力．