Question

已知，函數(shù)．

（1）當(dāng)時，若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，求的取值范圍；

（3）已知曲線在其圖象上的兩點(diǎn)，（）處的切線分別為．若直線與平行，試探究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；

（2）．

（3）當(dāng)直線與平行時，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱．見解析

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（3）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到;（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，只需，若不等式在區(qū)間上有解，只需；（3）有歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，還得經(jīng)過嚴(yán)格的證明

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022806132348534213/SYS201502280613572522229503_DA/SYS201502280613572522229503_DA.022.png">，所以， 1分

則，

而恒成立，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． 4分

（2）不等式在區(qū)間上有解，

即不等式在區(qū)間上有解，

即不等式在區(qū)間上有解，

等價于不小于在區(qū)間上的最小值． 6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022806132348534213/SYS201502280613572522229503_DA/SYS201502280613572522229503_DA.033.png">時，，

所以的取值范圍是． 9分

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022806132348534213/SYS201502280613572522229503_DA/SYS201502280613572522229503_DA.036.png">的對稱中心為，

而可以由經(jīng)平移得到，

所以的對稱中心為，故合情猜測，若直線與平行，

則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱． 10分

對猜想證明如下：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022806132348534213/SYS201502280613572522229503_DA/SYS201502280613572522229503_DA.039.png">，

所以，

所以，的斜率分別為，．

又直線與平行，所以，即，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022806132348534213/SYS201502280613572522229503_DA/SYS201502280613572522229503_DA.046.png">，所以，， 12分

從而，

所以．

又由上 ，

所以點(diǎn)，（）關(guān)于點(diǎn)對稱．

故當(dāng)直線與平行時，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱． 14分

考點(diǎn)：1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2、求參數(shù)的取值范圍；3、探究性問題．