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10.西部大開(kāi)發(fā)給中國(guó)西部帶來(lái)了綠色,人與環(huán)境日期和諧,群眾生活條件和各項(xiàng)基礎(chǔ)設(shè)施得到了極大的改善.西部地區(qū)2009年至2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如表:
年份2009201020112012201320142015
年份代號(hào)t1234567
人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2009年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測(cè)該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:\widehat=ni=1xi¯xyi¯yni=1xi¯x2,ˆa=¯y-ˆ¯x(其中¯x,¯y為樣本平均值).

分析 (1)計(jì)算¯x¯y,求出回歸系數(shù)ˆˆa,即可寫(xiě)出線性回歸方程;
(2)由(1)中的線性回歸方程知,斜率k>0,判斷純收入逐年增加,
再計(jì)算x=9時(shí)y的值即可.

解答 解:(1)由題意,計(jì)算¯x=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4,
¯y=17×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3;
所以回歸系數(shù)為
ˆ=ni=1xi¯xyi¯yni=1xi¯x2
=3×1.4+2×1++3×1.632+22++32
=0.5,
ˆa=¯y-\widehat¯x=4.3-0.5×4=2.3,
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.5x+2.3;
(2)由(1)中的線性回歸方程y=0.5x+2.3知,
斜率k=0.5>0,
所以2009年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加,
平均每年增加0.5千元,
當(dāng)x=9時(shí),y=0.5×9+2.3=6.8,
即預(yù)測(cè)該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了計(jì)算平均數(shù)與線性回歸方程的應(yīng)用問(wèn)題,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2.欲用系統(tǒng)抽樣的方法從1000人中抽取50人做問(wèn)卷調(diào)查.為此,將他們隨機(jī)編號(hào)為1,2,…,1000,分組后,已知在第一組中采用抽簽法抽到的號(hào)碼為8.若編號(hào)在區(qū)間[1,400]上的人做問(wèn)卷A;編號(hào)在區(qū)間[401,750]上的人做問(wèn)卷B,其余的人做問(wèn)卷C.則做問(wèn)卷C的人數(shù)是12.

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19.第96屆(春季)全國(guó)糖酒商品交易會(huì)于2017年3月23日至25日在四川舉辦.交易會(huì)開(kāi)始前,展館附近一家川菜特色餐廳為了研究參會(huì)人數(shù)與餐廳所需原材料數(shù)量的關(guān)系,查閱了最近5次交易會(huì)的參會(huì)人數(shù)x(萬(wàn)人)與餐廳所用原材料數(shù)量t(袋),得到如下數(shù)據(jù):
第一次第二次第三次第四次第五次
參會(huì)人數(shù)x(萬(wàn)人)11981012
原材料t(袋)2823202529
(Ⅰ)請(qǐng)根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出t關(guān)于x的線性回歸方程\hat t=\hat bx+\hat a;
(Ⅱ)已知購(gòu)買(mǎi)原材料的費(fèi)用C(元)與數(shù)量t(袋)的關(guān)系為C=\left\{\begin{array}{l}300t+20,({0<t<35,t∈N})\\ 290t,({t≥35,t∈N})\end{array}\right.投入使用的每袋原材料相應(yīng)的銷(xiāo)售收入為600元,多余的原材料只能無(wú)償返還.若餐廳原材料現(xiàn)恰好用完,據(jù)悉本次交易會(huì)大約有14萬(wàn)人參加,根據(jù)(Ⅰ)中求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)餐廳應(yīng)購(gòu)買(mǎi)多少袋原材料,才能獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是多少?(注:利潤(rùn)L=銷(xiāo)售收入-原材料費(fèi)用).
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