【題目】如圖,直線與橢圓
交于
兩點,
是橢圓右頂點,已知直線
的斜率為
,
的外接圓半徑為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓上有兩點,使
的平分線垂直
,且
,求直線
的方程.
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】
(1)設(shè),
,根據(jù)直線
的斜率為
,可得
,再利用
,即可得
是直角三角形,從而可求出
的長,再結(jié)合
,可求出
的長,進而求出
及點
的坐標,將
的坐標代入橢圓的方程即可求出
;
(2) 由(1)知,由
的平分線垂直
知直線
與
關(guān)于
對稱,因此可設(shè)
的斜率為
,則
的斜率為
,將直線分別與橢圓聯(lián)立方程組,利用兩根之積,求出
的坐標,從而可求出直線
的斜率,再利用弦長公式求出
即可求出
,進而求出直線
的方程.
(1)連結(jié),設(shè)
,
,所以直線
的斜率
,所以
,
所以,由橢圓的對稱性可知
,所以
,
所以,所以
,所以
是直角三角形,
故的外接圓半徑
,所以
,
因為直線的方程為
,所以直線
的傾斜角
,
所以,所以在
中,
,所以
,
所以,所以
,代入橢圓的方程可得
,
所以,故橢圓方程為
.
(2)由(1)知,由
的平分線垂直
知直線
與
關(guān)于
對稱,
設(shè)的斜率為
,則
的斜率為
,
,
與橢圓聯(lián)立得,
所以,又
,所以
,
所以
所以,同理得
,
所以,
由弦長公式得,解得
或
不妨設(shè)在
的左側(cè),
當(dāng)時,
,
;
當(dāng)時,
,
.
綜上所述,或
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊擊中目標的概率.先由計算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機數(shù),指定0,1,2,3表示沒有擊中目標,4,5,6,7,8,9表示擊中目標,以4個隨機數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組如下的隨機數(shù):
7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一個半徑為2千米,圓心角為的扇形游覽區(qū)的平面示意圖
是半徑
上一點,
是圓弧
上一點,且
.現(xiàn)在線段
,線段
及圓弧
三段所示位置設(shè)立廣告位,經(jīng)測算廣告位出租收入是:線段
處每千米為
元,線段
及圓弧
處每千米均為
元.設(shè)
弧度,廣告位出租的總收入為
元.
(1)求關(guān)于
的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)試問:為何值時,廣告位出租的總收入最大?并求出其最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),若
,使得
成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若方程有兩個不相等的實數(shù)根
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三棱錐中,點P是
斜邊AB上一點.給出下列四個命題:
①若平面ABC,則三棱錐
的四個面都是直角三角形;
②若S在平面ABC上的射影是斜邊AB的中點P,則有;
③若,
,
,
平面ABC,則
面積的最小值為3;
④若,
,
,
平面ABC,則三棱錐
的外接球體積為
.
其中正確命題的序號是__________.(把你認為正確命題的序號都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列五個命題:
①函數(shù)在區(qū)間
上存在零點;
②要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)
的圖象向左平移
個單位;
③若,則函數(shù)
的值城為
;
④“”是“函數(shù)
在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件;
⑤已知為等差數(shù)列,若
,且它的前
項和
有最大值,那么當(dāng)
取得最小正值時,
.
其中正確命題的序號是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為保障食品安全,某地食品藥監(jiān)管部門對轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩家食品企業(yè)進行檢查,分別從這兩家企業(yè)生產(chǎn)的某種同類產(chǎn)品中隨機抽取了100件作為樣本,并以樣本的一項關(guān)鍵質(zhì)量指標值為檢測依據(jù).已知該質(zhì)量指標值對應(yīng)的產(chǎn)品等級如下:
質(zhì)量指標值 | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45] |
等級 | 次品 | 二等品 | 一等品 | 二等品 | 三等品 | 次品 |
根據(jù)質(zhì)量指標值的分組,統(tǒng)計得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布直方圖和乙企業(yè)的樣本頻數(shù)分布表(如下面表,其中a>0).
質(zhì)量指標值 | 頻數(shù) |
[15,20) | 2 |
[20,25) | 18 |
[25,30) | 48 |
[30,35) | 14 |
[35,40) | 16 |
[40,45] | 2 |
合計 | 100 |
(Ⅰ)現(xiàn)從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,試估計該件產(chǎn)品為次品的概率;
(Ⅱ)為守法經(jīng)營、提高利潤,乙企業(yè)開展次品生產(chǎn)原因調(diào)查活動.已知乙企業(yè)從樣本里的次品中隨機抽取了兩件進行分析,求這兩件次品中恰有一件指標值屬于[40,45]的產(chǎn)品的概率;
(Ⅲ)根據(jù)圖表數(shù)據(jù),請自定標準,對甲、乙兩企業(yè)食品質(zhì)量的優(yōu)劣情況進行比較.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定數(shù)列,若滿足
(
且
),對于任意的
,都有
,則稱數(shù)列
為“指數(shù)型數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列的通項公式為
,試判斷數(shù)列
是不是“指數(shù)型數(shù)列”;
(2)已知數(shù)列滿足
,
,證明數(shù)列
為等比數(shù)列,并判斷數(shù)列
是否為“指數(shù)型數(shù)列”,若是給出證明,若不是說明理由;
(3)若數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”,且
,證明數(shù)列
中任意三項都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
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