Question

【題目】設(shè)拋物線(xiàn)C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，A∈C，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面積為 ，求p的值及圓F的方程；
（2）若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上，直線(xiàn)n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由對(duì)稱(chēng)性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p

點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離 ，

∵△ABD的面積S△ABD= ，

∴ = ，

解得p=2，所以F坐標(biāo)為（0，1），

∴圓F的方程為x2+（y﹣1）2=8

（2）解：由題設(shè) ，則 ，

∵A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上，

又AB為圓F的直徑，故A，B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱(chēng)．

由點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱(chēng)得：

得： ，直線(xiàn) ， 切點(diǎn)

直線(xiàn)

坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為

【解析】（1）由對(duì)稱(chēng)性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離 ，由△ABD的面積S△ABD= ，知 = ，由此能求出圓F的方程．（2）由對(duì)稱(chēng)性設(shè) ，則 點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱(chēng)得： ，得： ，由此能求出坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值．