Question

設函數(shù)f（x）=x-

a

2

lnx，其中a≠0．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間（m，1-2m）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；
（Ⅱ）求證：e2(

π

-

e

)＞(

π

e

)

e

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，對a分類求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，再由f（x）在區(qū)間（m，1-2m）上單調(diào)遞增，利用區(qū)間端點值間的關(guān)系求得實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-

e

lnx，結(jié)合（Ⅰ）中求得的函數(shù)的單增區(qū)間得g（x）在[

e

，+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，進一步利用放縮法得到e2(

π

-

e

)＞(

π

e

)

e

．

解答： （Ⅰ）解：由f（x）=x-

a

2

lnx，得f′(x)=1-

a

2x

=

2x-a

2x

，x＞0．
當a＜0時，f′(x)=1-

a

2x

≥0對一切x∈（0，+∞）恒成立，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
∵f（x）在區(qū)間（m，1-2m）上單調(diào)遞增，
∴（m，1-2m）⊆（0，+∞）．
∴0≤m＜

1

3

；
當a＞0時，由f′（x）＞0得x＞

a

2

，由f′（x）＜0得0＜x＜

a

2

．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（

a

2

，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，

a

2

）．
∵f（x）在區(qū)間（m，1-2m）上單調(diào)遞增，
∴（m，1-2m）⊆(

a

2

，+∞)，
∴

m≥ a 2 m＜1-2m

，得

m≥ a 2 m＜ 1 3

．
當0＜a＜

2

3

時，

a

2

≤m＜

1

3

，當a≥

2

3

時，m∈∅．
綜上，當a＜0時，0≤m＜

1

3

；當0＜a＜

2

3

時，

a

2

≤m＜

1

3

；當a≥

2

3

時，m∈∅．
（Ⅱ）證明：構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-

e

lnx，
由（Ⅰ）得，g（x）在[

e

，+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)．
∴

x

-

e

ln

x

＞

e

-

e

ln

e

，
即

x

-

e

＞

e

ln

x

-

e

ln

e

=

e

ln

x e

．
∴

π

-

e

ln

π

＞

e

-

e

ln

e

，
即

π

-

e

＞

e

ln

π

-

e

ln

e

=

e

ln

π e

．
又

π

-

e

＞

e

2

ln

π

e

＞

e

2

ln

π+1

e+1

，
∴2(

π

-

e

)＞ln(

π+1

e+1

)

e

．
故e2(

π

-

e

)＞(

π

e

)

e

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了集合間的關(guān)系，訓練了利用函數(shù)構(gòu)造法證明不等式，關(guān)鍵是利用導數(shù)求得所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，是壓軸題．