定義域為R的函數(shù)y=f（x）滿足：
①f(x+
π
2
)=-f(x)；
②函數(shù)在[
π
12
，
7π
12
]的值域為[m，2]，并且?x1，x2∈[
π
12
，
7π
12
]，當x1＜x2時恒有f（x1）＜f（x2）．
（1）求m的值；
（2）若f(
π
3
+x)=-f(
π
3
-x)，并且f(
π
4
sinx+
π
3
)＞0求滿足條件的x的集合；
（3）設y=g（x）=2cos2x+sinx+m+2，若對于y在集合M中的每一個值，x在區(qū)間（0，π）上恰有兩個不同的值與之對應，求集合M．
分析：（1）先求出函數(shù)的周期性，然后求出函數(shù)的單調性，結合條件f(x+
π
2
)=-f(x)可求出m；
（2）根據(jù)條件可知函數(shù)f（x）的圖象關于點（
π
3
，0）對稱，然后根據(jù)f(
π
4
sinx+
π
3
)＞0和
π
4
sinx+
π
3
的自身的范圍即可求出滿足條件的x的集合；
（3）若對于y在集合M中的每一個值，x在區(qū)間（0，π）上恰有兩個不同的值與之對應轉化成h（t）=-2t2+t+2-y=0在（0，1）上只有一解，只需h（1）•h（0）＜0即可求出集合M．
解答：解：（1）∵f(x+
π
2
)=-f(x)；∴f（x+π）=f（x），f（x）是以T=π的周期函數(shù)
而函數(shù)在[
π
12
，
7π
12
]的值域為[m，2]，并且?x1，x2∈[
π
12
，
7π
12
]，當x1＜x2時恒有f（x1）＜f（x2）．
∴函數(shù)f（x）在[
π
12
，
7π
12
]上單調遞增，而f(x+
π
2
)=-f(x)，∴m=-2
（2）∵f(
π
3
+x)=-f(
π
3
-x)，∴f（x）的圖象關于點（
π
3
，0）對稱
∵f(
π
4
sinx+
π
3
)＞0
∴
π
3
+kπ＜
π
4
sinx+
π
3
＜
5π
6
+kπ，而
π
12
≤
π
4
sinx+
π
3
≤
7π
12

則
π
3
＜
π
4
sinx+
π
3
≤
7π
12

∴0＜sinx≤1即滿足條件的x的集合為{x|2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z}
（3）∵y=g（x）=2cos2x+sinx
∴y=g（x）=-2sin2x+sinx+2
令sinx=t∈（0，1）則y=-2t2+t+2
若對于y在集合M中的每一個值，x在區(qū)間（0，π）上恰有兩個不同的值與之對應轉化成h（t）=-2t2+t+2-y=0在（0，1）上只有一解
∴h（1）•h（0）=（1-y）（2-y）＜0
解得1＜y＜2
∴集合M={y|1＜y＜2}．
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用和三角不等式的解法，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為R的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）f（x-1）=1，且f（3）=3，則f（2009）=（　�。�
A、3
B、
1
3
C、2009
D、
1
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

12、已知定義域為R的函數(shù)y=f（x），則下列命題：
①若f（x-1）=f（1-x）恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=1的對稱；
②若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于（1，0）點對稱；
③函數(shù)y=f（x-1）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關于y軸對稱；
④函數(shù)y=-f（x-1）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關于原點對稱；
⑤若f（1+x）+f（x-1）=0恒成立，則函數(shù)y=f（x）以4為周期．
其中真命題的有（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對定義域是Df．Dg的函數(shù)y=f（x）．y=g（x），
規(guī)定：函數(shù)h（x）=
f(x)g(x)，當x∈Df且x∈Dg
f(x)，當x∈Df且x∉Dg
g(x)，當x∉Df且x∈Dg
．
（1）若函數(shù)f（x）=
1
x-1
，g（x）=x2，寫出函數(shù)h（x）的解析式；
（2）求問題（1）中函數(shù)h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請設計一個定義域為R的函數(shù)y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義域為R的函數(shù)y=f（x）對于任意x都有f(x+2)=
2
f(x)，當x∈[0，2]時f(x)=sin(
π
2
x)，則方程f(x)-
x
=0，x∈[0，8]的根的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義域為R的函數(shù)y=f（x）的值域為[1，2]，則函數(shù)y=f（x+2）的值域為
[1，2]
[1，2]
．

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