Question

已知橢圓的右焦點與拋物線的焦

點重合，點是與在第一象限內的交點，且。

（1）求橢圓的方程；

（2）設拋物線的準線與軸交于點，過任作一條直線，與橢圓的兩個交點記為

。問：在橢圓的長軸上是否存在一點，使為定值？若存在，求出點的坐

標及相應的定值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）由拋物線的定義的，得：，代入拋物線方程的。

將此點代入橢圓方程，又橢圓的半焦距，解得橢圓的方程為：。

（2）易知，假設存在點滿足要求。當直線的斜率不存在時，易求得兩交點為，此時；當直線的斜率為時，易求得兩交點為，此時。

由解得。

下面證明符合要求。

當直線的斜率為時，如前所述。

當直線的斜率不為時，設的方程為得，由得，

。設，則。

此時

故存在點符合要求，對應的定值為。