Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-3x+

1

x

，其中a為常數(shù)，a∈R．
（1）若f（x）是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=4時(shí)，求方程f（x）=0在（e^-10，+∞）上根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x）=

a

x

-3-

1

x2

，根據(jù)已知條件知f′（x）≤0對(duì)于x∈（0，+∞）上恒成立，得到a≤3x+

1

x

恒成立，所以只要求函數(shù)3x+

1

x

的最小值即得a的取值范圍；
（2）求f′（x），并令f′（x）=0，得x=

1

3

，或1，并能說(shuō)明x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值-2＜0，且e-10＜

1

3

，f（e^-10）＞0，所以函數(shù)f（x）在（e^-10，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根，所以f（x）=0在（e^-10，+∞）上根的個(gè)數(shù)為1．

解答： 解：（1）∵f（x）是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)，∴f′（x）=

a

x

-3-

1

x2

≤0在（0，+∞）上恒成立；
即a≤3x+

1

x

，∵3x+

1

x

≥2

3

，當(dāng)x=

3

3

時(shí)取“=“；
∴a≤2

3

∴a的取值范圍是（-∞，2

3

]；
（2）f（x）=4lnx-3x+

1

x

，f′（x）=

4

x

-3-

1

x2

=

-3x2+4x-1

x2

，令f′（x）=0得：x=

1

3

，或1，且e-10＜

1

3

；
∴x∈（e^-10，

1

3

）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（

1

3

，1）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
∴x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值-2＜0，且f（e^-10）=e¹⁰-3e^-10-40＞0
∴在（e^-10，+∞）上函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
∴方程f（x）=0在（e^-10，+∞）上根的個(gè)數(shù)為1．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，極值的概念，注意說(shuō)明方程f（x）=0在（e^-10，+∞）上只有一個(gè)實(shí)根的方法．