Question

函數(shù)f（x）=

1

3

x³-2x²+3x+m，則以下四個(gè)結(jié)論：
①若y=f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則-

4

3

＜m＜0；
②?m∈R，使得y=f（x）的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；
③?m∈R，使得y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）成中心對(duì)稱；
④?m∈R，在y=f（x）的圖象上都存在四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，使得四邊形ABCD是一個(gè)菱形．
其中真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到極值點(diǎn)，由極大值大于0極小值小于0求解m的范圍判斷①；
由x→-∞時(shí)，f（x）→-∞，x→+∞時(shí)，f（x）→+∞判斷②；
求出原函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷③；
求出函數(shù)f（x）=

1

3

x³-2x²+3x的對(duì)稱中心，得到兩極值點(diǎn)的中垂線，說(shuō)明直線與f（x）=

1

3

x³-2x²+3x有交點(diǎn)判斷④．

解答： 解：f（x）=

1

3

x³-2x²+3x+m，則
f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
當(dāng)x∈（-∞，1），（3，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）的極大值為f（1）=m+

4

3

，極小值為f（3）=m．
若y=f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則

m+ 4 3 ＞0 m＜0

，解得-

4

3

＜m＜0．命題①正確；…①
當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，
∴不存在m∈R，使得y=f（x）的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．命題②錯(cuò)誤；…②
由f′′（x）=2x-4=0，得x=2，
∴不?m∈R，使得y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）成中心對(duì)稱．命題③錯(cuò)誤；…③
函數(shù)f（x）=

1

3

x³-2x²+3x的對(duì)稱中心為（2，

2

3

），取A（1，

4

3

），B（3，0），
過(guò)（2，

2

3

）作斜率為

3

2

的直線，方程為y-

2

3

=

3

2

(x-2)，即y=

3

2

x-

7

3

．
聯(lián)立

y= 3 2 x- 7 3 y= 1 3 x3-2x2+3x

，得2x³-12x²+9x+2=0，
令g（x）=2x³-12x²+9x+2，
求導(dǎo)可得函數(shù)g（x）有三個(gè)零點(diǎn)．
即y=

3

2

x-

7

3

與f（x）=

1

3

x³-2x²+3x有三個(gè)交點(diǎn)．
也就是f（x）=

1

3

x³-2x²+3x上存在另兩點(diǎn)C，D，使四邊形ABCD是一個(gè)菱形．
而f（x）=

1

3

x³-2x²+3x+m只是把f（x）=

1

3

x³-2x²+3x上下平移．
∴命題④正確…④
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，是壓軸題．