解:(Ⅰ)在f(x
1+x
2)+f(x
1-x
2)=2f(x
1)cos2x
2+4asin
2x
2中,
分別令
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;
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;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537162.png)
得
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由①+②-③,得
2f(x)=2a+2cos2x-2cos(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
+2x)+4a(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10243.png)
)-4a(
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)
=2a+2(cos2x+sin2x)-2a(cos2x+sin2x)
∴f(x)=a+
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(1-a)sin(2x+
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)
(Ⅱ)當x∈[0,
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]時,則
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≤2x≤
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,∴sin(2x+
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)∈[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,1].
∵|f(x)|≤2,
(1)當a<1時,-2≤a+
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[
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(1-a)]≤f(x)≤a+
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(1-a)≤2.
即1-
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≤(1-
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)a≤2-
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,解得-
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≤a≤1,
故a的取值范圍[-
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,1).
(2)當a≥1時,-2≤a+
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(1-a)≤f(x)≤1.即-2-
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≤(1-
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)a≤1-
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,
解得1≤a≤4+3
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.
綜上,滿足條件a的取值范圍[-
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,4+3
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].
分析:(Ⅰ)根據(jù)題中的關系式和已知的函數(shù)值,分別給x
1和x
2三組值,必須與0以及
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有關,列出三個方程構成一個方程組,對其進行化簡變形,再利用倍角公式和兩角和差的正弦(余弦)公式進行化簡,求出函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)由x的范圍和正弦函數(shù)的性質求出sin(2x+
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)的范圍,根據(jù)a與1的大小進行分類求解,去掉絕對值利用平方差公式進行化簡求解,最后要把結果并在一起.
點評:本題是有關三角函數(shù)的較難的綜合題,求函數(shù)解析式時根據(jù)題意給兩個變量適當?shù)闹�,列出有關f(x)的幾個方程,通過觀察進行化簡求出解析式,還利用倍角公式和兩角和差的正弦(余弦)公式;求解絕對值不等式時需要對參數(shù)進行分類討論,利用正弦函數(shù)的性質求出正弦值的范圍,從而列出關于a的不等式進行求解,考查了分析問題和解決問題的能力.