Question

已知，．?dāng)?shù)列a_n滿足．
（Ⅰ）證明：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）已知≥，證明：；
（Ⅲ）設(shè)T_n是數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和，判斷T_n與n-3的大小，并說明理由．．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根據(jù)得出下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：0＜a_n＜a_n+1＜1．
（Ⅱ）要證，即證，其中．
令.．利用導(dǎo)數(shù)研究在上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，往往求出的極大值就是最大值，即可證得即；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知從而
∴．
結(jié)合放縮法即可證明得T_n＞n-3．
解答：解：（I）∵，
∴．
∴．
∴．（1分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：0＜a_n＜a_n+1＜1．
①n=1時(shí)，，
故結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即．
∴，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1．
也就是說n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②可知，對一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．（4分）
（Ⅱ）要證，即證，其中．
令.．
由，得．（6分）

x
g'（x）	+		-
g（x）	↗	極大值	↘

又g（1）=0，．
∴當(dāng)，g（x）＞0．
∴．
∴．
即．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
．（11分）
∴．
∴．（13分）
又，
即．
∴T_n＞n-3．（14分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與向量的綜合，解題時(shí)要注意公式有靈活運(yùn)用．本題還考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，處理方法是當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．