在平面四邊形ABCD中，若（
CD
|
CD
|
+
CA
|
CA
|
）•
DA
=0，
AC
|
AC
|
•
AD
|
AD
|
=
1
2
，
AB
∥
DC
，
AB
•
BC
=0，且|
AC
|=2，則四邊形ABCD的面積為
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：由
AB
∥
DC
，
AB
•
BC
=0，可得四邊形ABCD是直角梯形．由
AC
|
AC
|
•
AD
|
AD
|
=
1
2
，可得cos∠DAC=
1
2
，∠DAC=60°．
由（
CD
|
CD
|
+
CA
|
CA
|
）•
DA
=0，可得AC=CD，即△ACD是等邊三角形．再利用三角形的面積計算公式即可得出．
解答： 解：∵
AB
∥
DC
，
AB
•
BC
=0，
∴四邊形ABCD是直角梯形．
∵
AC
|
AC
|
•
AD
|
AD
|
=
1
2
，
∴cos∠DAC=
1
2
，∴∠DAC=60°．
∵（
CD
|
CD
|
+
CA
|
CA
|
）•
DA
=0，
∴AC=CD，
因此△ACD是等邊三角形．
∴∠ACB=30°．
∵|
AC
|=2．
∴S△ACD=
3
4
×22=
3
，|
BC
|=
3
．
∴S△ABC=
1
2
|BC||AC|sin30°=
1
2
×
3
×2×
1
2
=
3
2
．
∴四邊形ABCD的面積為
3
3
2
．
故答案為：
3
3
2
．
點評：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)、向量的三角形法則、三角形的面積計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某地區(qū)對某路段公路上行駛的汽車速度監(jiān)控，從中抽取200輛汽車進行測速分析，得到如圖所示的時速的頻率分布直方圖，根據(jù)該圖，時速在70km/h以上的汽車大約有
 
輛．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，sinA：sinB：sinC=1：2：
3
，則a：b：c=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察以下各式：
1
32
=
1
9
，
1
32
+
2
152
=
3
25
，
1
32
+
2
152
+
3
352
=
6
49
，則可以推測
1
32
+
2
152
+
3
352
+
4
632
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
與
b
的夾角為45°，|
a
|=4，|
b
|=
2
，則|
a
-
b
|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計算
∫
2
0
（
3
cosx-sinx）dx=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

比較大小：a、b、x均大于零，且ax＞bx，則a
 
b．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若集合A={x|x2＜2}，B={x|x-1|＞2}，則A∩B=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合A={x|0＜log2x＜1}，B={x|x＜a}．若A⊆B，則a的范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊答案