Question

已知遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項，等差數(shù)列{b_n}的前n項和為{S_n}，s₄=20，b₄=a₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若T_n=

1

2

a1b1+

1

2

a2b2+…+

1

2

anbn，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式性質(zhì)即可得出；
（II）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}首項為a₁，公比為q．
由已知得2（a₃+2）=a₂+a₄　代入a₂+a₃+a₄=28可得a₃=8．
于是a₂+a₄=20．　
故

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

，解得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

．
又數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，故

q=2 a1=2

，
∴an=2n．
設(shè)等差數(shù)列{b_n}首項為a₁，公比為d．
則有

b1+3d=8 4b1+ 4×3 2 d=20

得b₁=2，d=2，
∴b_n=2n．
（Ⅱ）∵Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，
兩式相減得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=

2×(1-2n)

1-2

-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2，
∴Sn=(n-1)×2n+1+2．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式性質(zhì)、“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．