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已知函數y=f(x)是R上的偶函數,對任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,當x1,x2∈[0,2]且x1≠x2時,都有給出下列命題:
(1)f(2)=0且T=4是函數f(x)的一個周期;
(2)直線x=4是函數y=f(x)的一條對稱軸;
(3)函數y=f(x)在[-6,-4]上是增函數;
(4)函數y=f(x)在[-6,6]上有四個零點.
其中正確命題的序號是     (填上你認為正確的所有序號)
【答案】分析:由函數y=f(x)是R上的偶函數,對任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,我們令x=-2,可得f(-2)=f(2)=0,進而得到f(x+4)=f(x)恒成立,再由當x1,x2∈[0,2]且x1≠x2時,都有,我們易得函數在區(qū)間[0,2]單調遞增,由此我們畫出函數的簡圖,然后對題目中的四個結論逐一進行分析,即可得到答案.
解答:解:∵對任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立
當x=-2,可得f(-2)=0,
又∵函數y=f(x)是R上的偶函數
∴f(-2)=f(2)=0,
又由當x1,x2∈[0,2]且x1≠x2時,都有,
∴函數在區(qū)間[0,2]單調遞增
故函數f(x)的簡圖如下圖所示:

由圖可知:(1)正確,(2)正確,(3)錯誤,(4)正確
故答案:(1)(2)(4)
點評:本題考查的知識點是函數的圖象,函數的奇偶性,函數的周期性,函數的零點,解答的關鍵是根據已知,判斷函數的性質,并畫出函數的草圖,結合草圖分析題目中相關結論的正誤.
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