已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m，（m∈R），在區(qū)間[0，
π
4
]內(nèi)最大值為
2
，
（1）求實數(shù)m的值；
（2）在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對邊分別為a，b，c，且f(
3
4
B)=1，a+c=2，求b的取值范圍．
考點：正弦定理的應用,兩角和與差的正弦函數(shù)
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）利用函數(shù)的解析式通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，通過正弦函數(shù)的最值，求實數(shù)m的值；
（2）利用f(
3
4
B)=1，求出B的值，通過a+c=2以及正弦定理，直接求b的表達式，通過A的范圍集合正弦函數(shù)的值的范圍，求解b取值范圍．
解答： 解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m
=2cosxsinx+2cos2x+m
=sin2x+cos2x+m+1
=
2
sin(2x+
π
4
)+m+1，
當x∈[0，
π
4
]時，
2
sin(2x+
π
4
)最大值為
2
，
在區(qū)間[0，
π
4
]內(nèi)函數(shù)的最大值為
2
，
∴
2
+m+1=
2

∴m=-1
（2）f(
3
4
B)=1⇒
2
sin(
3
2
B+
π
4
)=1⇒
3
2
B+
π
4
=
3π
4
，（∵0＜B＜π）
解得B=
π
3
由正弦定理得：b=
a+c
sinA+sinC
•sinB=
3
2
•
2
sinA+sin(
2π
3
-A)
sinA+sin(
2π
3
-A)=sinA+
3
2
cosA+
1
2
sinA=
3
(
3
2
sinA+
1
2
cosA)=
3
sin(A+
π
6
)
∴
3
2
＜sinA+sin(
2π
3
-A)≤
3
，（當A=
π
3
時取最大值
3
）
∴1≤b＜2，（當△ABC為正三角形時，b=1）
點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應用，正弦定理的應用，考查轉化思想以及計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=2
6
，M為A1B1的中點．
（Ⅰ）求證：MC⊥AB；
（Ⅱ）若點P為CC1的中點，求二面角B-AP-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設θ∈（0，
π
2
）且函數(shù)y=（sinθ） x2-6x+5的最大值為16，則θ
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x）為R上的可導函數(shù)，當x≠0時，f′（x）+
f(x)
x
＞0，則關于x的函數(shù)g（x）=f（x）+
1
x
的零點個數(shù)為（　�。�
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面積為12，則cosC=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=
-x+a (x＜
1
2
)
log2x (x≥
1
2
)
的最小值為-1，則實數(shù)a取值范圍（　�。�
A、{a|a≥-
1
2
}
B、{a|a＞-
1
2
}
C、{a|a＜-
1
2
}
D、{a|a≥-1}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，
OP
=(x，y)，
OA
=(a，0)，
OB
=(0，a)，
OC
=(3，4)，記|
PA
|、|
PB
|、|
PC
|中的最大值為M，當a取遍一切實數(shù)時，M的取值范圍是（　�。�
A、[
7
，+∞)
B、[7+2
6
，+∞)
C、[7-2
6
，+∞)
D、[7，7+2
6
)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將一顆均勻的四面分別標有1，2，3，4點的正四面體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，求：
（1）兩數(shù)之和為5的概率；
（2）以第一次向上點數(shù)為橫坐標x，第二次向上的點數(shù)為縱坐標y的點（x，y）在區(qū)域Ω：
x＞0
y＞0
x-y-2＞0
內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且
m
=（
3
b-c，cosC），
n
=（a，cosA），
m
∥
n
，則tanA的值等于
 
．

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