Question

函數(shù)f（x）=

1-x2，x≤1 f(x-2)，x＞1

，若方程f（x）=mx恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A、（8-2

  15

  ，4-2

  3

  ）
• B、（4+2

  3

  ，8+2

  15

  ）
• C、（4-2

  3

  ，8+2

  15

  ）
• D、（8-2

  15

  ，4+2

  3

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過x＞1是周期函數(shù)，畫出函數(shù)y=f（x）的圖象和函數(shù)y=mx的圖象，通過圖象觀察，考慮直線繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，分析直線與1＜x＜3的圖象相切和3＜x＜5的圖象相切情況，求出此時(shí)的m的值，從而判斷滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)1＜x≤3時(shí)，-1＜x-2≤1，f（x-2）=1-（x-2）²，即f（x）=1-（x-2）²，
當(dāng)3＜x≤5時(shí)，-1＜x-4≤1，f（x-4）=1-（x-4）²，即f（x）=1-（x-4）²，
…
畫出函數(shù)y=f（x）的圖象和函數(shù)y=mx的圖象，

由

y=mx y=1-(x-2)2

消去y得，x²-（4-m）x+3=0，由判別式等于0，（4-m）²-12=0，m=4±2

3

，
檢驗(yàn)m=4+2

3

時(shí)，x=-

3

不成立，故m=4-2

3

；
由

y=mx y=1-(x-4)2

消去y得，x²-（8-m）x+15=0，由判別式為0，（8-m）²-60=0，m=8±2

15

，
檢驗(yàn)m=8+2

15

時(shí)，x=-

15

不成立，故m=8-2

15

．
故方程f（x）=mx恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（8-2

15

，4-2

3

）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性及運(yùn)用，考查方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，注意通過圖象觀察，主要是直線旋轉(zhuǎn)與曲線的交點(diǎn)問題，屬于中檔題．