Question

【題目】如圖，在三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，，，.

⑴求證：平面；

⑵求二面角的正弦值；

⑶已知為棱上的點(diǎn)，若，求線段的長度.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）證明，，再根據(jù)，從而得到線面垂直的證明；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得正弦值；

（3）結(jié)合（2）中，求得點(diǎn)，再求的值，從而求得線段的長度.

（1）在三角形中，且為的中點(diǎn)，

所以.①

在中，,.

連接，在中，，

所以.

又，所以，所以.②

又因?yàn)?/span>，③

由①②③，得平面.

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

所以.

設(shè)為平面的法向量，

則有即

令，得所以.

易得，且為平面的法向量，

所以，，

所以.

故所求二面角的正弦值為

（3）由（2）知.

設(shè)點(diǎn)，則.

又，，

所以，從而

即點(diǎn).

所以.

所以.