【題目】如圖，已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內的正投影為點D，D在平面PAB內的正投影為點E，連結PE并延長交AB于點G.

（Ⅰ）證明：G是AB的中點；

（Ⅱ）在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）作圖見解析，體積為.

【解析】試題分析：證明由可得是的中點.（Ⅱ）在平面內，過點作的平行線交于點， 即為在平面內的正投影.根據(jù)正三棱錐的側面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得四面體的體積

試題解析：（Ⅰ）因為在平面內的正投影為，所以

因為在平面內的正投影為，所以

所以平面，故

又由已知可得， ，從而是的中點.

（Ⅱ）在平面內，過點作的平行線交于點， 即為在平面內的正投影.

理由如下：由已知可得 ， ，又,所以,因此平面，即點為在平面內的正投影.

連結，因為在平面內的正投影為，所以是正三角形的中心.

由（Ⅰ）知， 是的中點，所以在上，故

由題設可得平面， 平面，所以，因此

由已知，正三棱錐的側面是直角三角形且，可得

在等腰直角三角形中，可得

所以四面體的體積

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中， ， ， ， 平面.

（1）求證： 平面；

（2）若為線段的中點，且過三點的平面與線段交于點，確定點的位置，說明理由；并求三棱錐的高.

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【題目】已知m＞0，p：(x＋2)(x－6)≤0，q：2－m≤x≤2＋m.

(1)若p是q成立的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)若是 成立的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．

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【題目】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AD，DD1的中點．

求證：(1)EF∥平面C1BD；

(2)A1C⊥平面C1BD.

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【題目】已知橢圓: ()的離心率為， ， 分別是它的左、右焦點，且存在直線，使， 關于的對稱點恰好是圓： （， ）的一條直徑的兩個端點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與拋物線相交于、兩點，射線、與橢圓分別相交于、．試探究：是否存在數(shù)集，當且僅當時，總存在，使點在以線段為直徑的圓內？若存在，求出數(shù)集；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱和一個正四棱錐組合而成， ， ．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求正四棱錐的高，使得二面角的余弦值是．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)．

（Ⅰ）當時， 恒成立，求范圍；

（Ⅱ）方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(2016·懷仁期中)已知命題：x∈[－1,2]，函數(shù)f(x)＝x2－x的值大于0.若∨是真命題，則命題可以是(　　)

A. x∈(－1,1)，使得cos x<

B. “－3<m<0”是“函數(shù)f(x)＝x＋log2x＋m在區(qū)間上有零點”的必要不充分條件

C. 直線x＝是曲線f(x)＝的一條對稱軸

D. 若x∈(0,2)，則在曲線f(x)＝ex(x－2)上任意一點處的切線的斜率不小于－1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

(1)若,求函數(shù)的極值及單調區(qū)間；

(2)若在區(qū)間上至少存在一點,使成立,求實數(shù)的取值范圍.

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